1.Probability and counting

1.1 Why study probability?

수학은 확실성의 논리이며 확률은 불확실성의 논리이다.

list of applications:

statistics : 확률은 통계를 위한 기초이자 언어이다. 데이터를 사용하여 세상에 대해 배울 수 있는 다양한 강력한 방법을 가능하게 한다.
computer science: Randomized algorithms은 실행되는 동안 무작위 선택을 하며, 많은 중요한 응용 분야에서 현재 알려진 결정론적 대안(deterministic alternatives)보다 더 간단하고 효율적이다. 확률은 또한 알고리즘의 성능을 연구하는 데 필수적인 역할을 하며, 머신러닝, 인공지능에서 중요한 역할을 한다.
Life: 인생은 불확실하고 확률은 불확실성의 논리이다. 인생에서 결정되는 모든 결정에 대해 공식적인 확률 계산을 수행하는 것은 실용적이지 않지만, 확률에 대해 열심히 생각하는 것은 우리가 몇 가지 흔한 오류를 피하고, 우연을 조명하고, 더 나은 예측을 하는 데 도움이 될 수 있다.
Physics, Biology, Meteorology, Gambling, Finance, Political science, Medicine….

sample space S: 실험의 모든 가능한 경우의 집합
event A: sample space S의 부분 집합
표본 공간은 finite, countably infinite, uncountably infinite 할 수 있다. 표본공간이 finite(유한)할 때, 우리는 Pebble World로 시각화 할 수 있으며 Figure 1.1과 같이 나타낼 수 있다. 각각의 pebble은 결과를 나타내며 event는 pebbles의 집합이다.
만약 모든 pebble이 같은 질량을 가지면 pebble은 동일한 확률로 선택되어진다. 이러한 특별한 경우가 다음 두 Section에서 다뤄지며 Section 1.6에서는 질량이 다른 경우에 대해 다룬다.
집합 이론은 확률에서 매우 유용하다(각 사건을 표현). 이러한 방식은 사건을 한 가지 이상의 방법으로 표현 가능하게 해준다. 어떠한 한 가지 표현은 다른 표현보다 더 쉽다.

Naive definition of probability

예시로, Figure 1.1의 상황에서

The naive definition은 매우 제한적. S가 유한해야하며 각각의 pebble들의 질량이 동일해야 한다. 이것은 종종 잘못 적용되는데, justification 없이 그것이 50:50이라고 주장하는 것(예를 들어, 화성에 지적 생명체가 산다를 50:50이라고 함.)
The naive difinition이 적용 가능한 중요한 케이스들이 존재한다.
1. 문제에 symmetry(대칭)이 있는 경우 등확률이다. ex) 동전이 50% 확률로 앞면이 나올 수 있다. -> 동전이 물리적으로 symmetry.
2. 설계에 의한 등확률. ex) N명의 인구 중 설문조사를 위해 n명의 사람을 랜덤하게 뽑는 경우. 성공한다면 나이브한 정의를 적용가능하지만, 다양한 문제로 인해 달성이 어려울 수 있다.
3. 영가설에서의 모형

Multiplication rule

2개의 하위 실험 A, B로 구성된 복합실험을 생각해보자. 실험 A는 a개 가능한 경우의 수가 있고 실험 B는 b개의 가능한 경우의 수가 있다. 이런 경우 복합 실험은 a*b의 가능한 경우를 갖는다.

※ 실험이 시간순서로 진행된다고 생각하기 쉬우나 A가 B보다 먼저 실행된다는 요건은 없다. 주어진 내용이 없으면 순차적으로 실행된다고 생각하지 말 것?